- \(f\) est dérivable en \(x_0\) si \(\underset{x\to x_0}\lim \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\underset{h\to 0}\lim \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\) est finie
On dit que \(\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\underset{h\to 0}\lim \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\) est le Taux d’accroissement de \(f\) en \(x_0\)
Notation :
Le nombre dérivé de \(f\) en \(x_0\) est noté \(f'(x_0)\) ie $${{f'(x_0)}}={{\underset{x\to x_0}\lim \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\underset{h\to 0}\lim \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} }}$$
\(f\) est dérivable en \(x_0\) si et seulement s'il existe \(\ell\in\Bbb R\) et une fonction \(\epsilon:I\to\Bbb R\) telle que \(\epsilon(x)\to 0\) avec $$f(x)=f(x_0)+(x-x_0)\ell + (x-x_0)\epsilon(x)$$
Définition :
Une fonction \(f\) est dérivable sur un intervalle \(I\) si \(f\) est dérivable en tout point \(x_0\in I\)
Proposition :
Soit \(f\) une fonction, \(f:I\to\Bbb R\), \(I\) étant un intervalle ouvert
1. Si \(f\) est dérivable en \(x_0\in I\), alors \(f\) est continue en \(x_0\)
2. Si \(f\) est dérivable sur \(I\), alors \(f\) est continue en \(I\)
